Với cách giải các dạng toán về Tích phân và cách giải bài tập cơ bản môn Toán lớp 12 Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Tích phân và cách giải bài tập cơ bản lớp 12. Mời các bạn đón xem:
Tích phân và cách giải bài tập cơ bản - Toán lớp 12
A. LÝ THUYẾT. Bạn đang xem: Bài tập về tích phân
1. Định nghĩa.
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn
Ta dùng kí hiệu F(x)ab=F(b)−F(a)để chỉ hiệu số F(b)−F(a).
Vậy ∫abf(x)dx=F(x)ab=F(b)−F(a).
Ta gọi∫ab là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước ∫aafxdx=0; ∫abfxdx=−∫bafxdx.
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ∫abf(x)dxhay ∫abf(t)dt.Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn
S=∫abf(x)dx.
2. Tính chất của tích phân
+) Tính chất 1: ∫abkfxdx=k∫abfxdx với k là hằng số.
+) Tính chất 2: ∫abfx±gxdx=∫abfxdx±∫abgxdx
+) Tính chất 3: ∫acfxdx+∫cbfxdx=∫abfxdxvới acb.
Chú ý: Mở rộng của tính chất 3.
∫abfxdx=∫ac1fxdx+∫c1c2fxdx+...∫cnbfxdxac1c2...cnb
3. Định lý.
Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên .
- Nếu f là một hàm số chẵn, khi đó
- Nếu f là một hàm số lẻ, khi đó .
4. Các tính chất bổ sung.
+) ∫ab0dx=0
+) ∫abcdx=cb−a
+) Nếu fx≥0,∀x∈a,bthì ∫abfxdx≥0
Hệ quả: Nếu hai hàm số fxvà gx liên tục và thỏa mãnfx≤gx,∀x∈a;b
thì ∫abfxdx≤∫abgxdx
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ.
1. Phương pháp giải:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:∫abf(x)dx=F(x)ab=F(b)−F(a)
Như vậy, để tính tích phân của 1 hàm số ta cần:
• Bước 1: Xác định F(x) là nguyên hàm của hàm số.
• Bước 2. Tính F(b) − F(a).
- Chú ý: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân đã nêu ở phần lý thuyết để phân tích bài toán, đưa các hàm số dưới dấu tích phân về dạng cơ bản để xác định được nguyên hàm của hàm số một cách dễ dàng.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính I=∫01x3−12x3dx ta thu được kết quả là:
A.8141
B.9140
C.1409
D.1418
Lời giải
Ta có :
I=∫01x3−12x3dx=∫01x6−2x3+1x3dx=∫01x9−2x6+x3dx=x1010−2x77+x4410=110−27+14−0=9140
Chọn B.
Ví dụ 2: Tính tích phân I=∫−22|x+1|dx.
Lời giải
Nhận xét:
x+1=x+1, −1≤x≤2 −x−1, −2≤x−1 .
Ví dụ 3: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn
A. I = - 2
B. I = 2
C.I=23
D. I=-23
Lời giải
Chọn D
Ví dụ 4: Cho các tích phân ∫−32fxdx=2;∫−35ftdt=4. Tính ∫25fydy.
A. I = 2
B. I = 6
C. I = - 2
D. I = - 6
Lời giải
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho ∫0π2fxdx=5 . Tính
I=∫0π2fx+2sinxdx
A. I = 7
B.I=5+π2
C. I = 3
D.I=5+π
Lời giải
Chọn A.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Câu 1. ∫24x+1x2dx bằng:
A.27512
B.30516
C.19615
D.20817
Câu 2. ∫e−1e2−11x+1dx bằng:
A.3e2−e
B. 1
C.1e2−1e
D. 2
Câu 3. ∫0ln2ex+1exdxbằng:
A.3ln2
B.45ln2
C.52
D.73
Câu 4. ∫0412x+1dx bằng:
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
Câu 5. ∫253x−44dx bằng:
A.8972027
B.1892720
C.96002518
D.536735
Câu 6. Kết quả của tích phân:I=∫017+6x3x+2dx
A.12−ln52
B.ln52
C. 2+ln52
D.3+2ln52
Câu 7. Tích phân:∫04x−2dx
A. 0
B. 2
C. 8
D. 4
Câu 8. Tích phân ∫02x2−xdxbằng
A.23
B. 0
C. 1
D.32
Câu 9. Tính ∫−12dx1+1−x?
A. 2ln3
B. ln3
C. ln2
D. ln6
Câu 10. Nếu∫14f(x)dx=6và ∫14 g(x)dx=−5thì ∫14
A. -1.
B. -11.
C. 1.
D. 11.
Câu 11. Xem thêm: Khu Nghỉ Dưỡng Six Senses Ninh Vân Bay Nha Trang 5 Sao Mới Nhất Năm 2023
A. Chưa xác định được
B. 12
C. 3
D. 6
Câu 12. Cho 2I=∫12(2x3+lnx)dx. Tìm I?
A.1+2ln2
B.132+2ln2
C.134+ln2
D.12+ln2
Câu 13. Nếu ∫010f(x)dx=17và ∫08f(x)dx=12thì ∫810f(x)dxbằng:
A. 5
B. 29
C. - 5
D. 15
Câu 14. f và g là hai hàm số theo x. Biết rằng∀x ∈
Trong các mệnh đề:
(I)∀x∈
(II)∫abf(x)dx=∫abg(x)dx
(III)∀x∈
Mệnh đề nào đúng?
A. I
B. II
C. Không có
D. III
Câu 15. Để ∫1kk−4xdx+3k+1=0 thì giá trị của k là bao nhiêu ?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
Câu 16. Nếu ∫06f(x)dx=10và ∫04f(x)dx=7, thì ∫46f(x)dxbằng:
A. 3
B. 17
C. 170
D. - 3
Câu 17. Tìm a sao cho
I=∫12
A. Đáp án khác
B. a = - 3
C. a = 5
D. a = 3
Câu 18. Biết ∫0b2x−4dx=0, khi đó b nhận giá trị bằng:
A. b=1 hoặcb=4
B. b=0 hoặcb=2
C. b=1 hoặcb=2
D. b=0 hoặcb=4
Câu 19. Cho ∫01e3xdx=ea−1b. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng
A. a = - b
B. a b
D. a = b
Câu 20. Nếu ∫adf(x)dx=5; ∫bdf(x)dx=2, với adbthì ∫abf(x)dxbằng:
A. - 2
B. 3
C. 8
D. 0
Câu 21. Cho tích phân I=∫032x−4 dx, trong các kết quả sau:
(I).I=∫232x−4 dx+∫022x−4 dx
(II).I=∫232x−4 dx−∫022x−4 dx
(III).I=2∫232x−4 dx
Kết quả nào đúng?
A. Chỉ II.
B. Chỉ III
C. Cả I, II, III.
D. Chỉ I.
Câu 22. Cho hàm số y = f(x) liên tục và chỉ triệt tiêu khi x = c trên
A.∫abf(x)dx≥∫abf(x)dx
B.∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
C.∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫abf(x)dx
D. A, B, C đều đúng
Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai về kết quả ∫−10x+1x−2dx=alnbc−1?
A. a.b=3(c+1)
B.ac=b+3
C.a+b+2c=10
D.ab=c+1
Câu 24. Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R thỏa mãn ∫−11f(x)dx=2. Khi đó giá trị tích phân ∫01f(x)dxlà:
A. 2
B. 1
C.12
D.14
Câu 25. Cho hàm số f liên tục trên đoạn
A. ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
B. F"(x)=f(x)với mọi x∈(a;b).
C. ∫abf(x)dx=f(b)−f(a).
D. Hàm số G cho bởi G(x)=F(x)+5cũng thỏa mãn ∫abf(x)dx=G(b)−G(a).
Câu 26. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn
I. ∫abf(x)+g(x)dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx.
II. ∫abf(x)−g(x)dx=∫abf(x)dx−∫abg(x)dx.
III. ∫abf(x).g(x)dx=∫abf(x)dx.∫abg(x)dx.
IV. ∫abf(x)g(x)dx=∫abf(x)dx∫abg(x)dx.
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 27. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu f là hàm số chẵn trên R thì ∫01f(x)dx=∫−10f(x)dx.
B. Nếu ∫−10f(x)dx=∫01f(x)dxthì f là hàm số chẵn trên đoạn <−1;1>
C. Nếu ∫−11f(x)dx=0thì f là hàm số lẻ trên đoạn <−1;1>
D. Nếu ∫−11f(x)dx=0thì f là hàm số chẵn trên đoạn <−1;1>
Câu 28. Tích phân ∫02kexdx(với k là hằng số )có giá trị bằng:
A.k(e2−1)
B.e2−1
C.k(e2−e)
D. e2−e
Câu 29. Tích phân ∫−15x2−2x−3dxcó giá trị bằng
A. 0
B.643
C. 7.
D. 12,5.
Câu 30. Giá trị của a để đẳng thức ∫12a2+(4−4a)x+4x3dx=∫242xdxlà đẳng thức đúng
Tích phân được xem là dạng bài tập làm khó học sinh trong các bài kiểm tra cũng như đề thi đại học. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp cho bạn những cách tính tích phân và hướng dẫn giải một số bài tập tích phân cơ bản. Hãy cùng theo dõi và luyện tập thường xuyên để không bị mất điểm khi gặp những bài tập này nhé!
1. Tính chất của tích phân và Công thức tính tích phân cơ bản
Phần lớn các bạn học sinh lớp 12, đặc biệt là những bạn đang luyện thi đại học thường gặp khó khăn khi giải những bài toán tích phân. Trong bài viết này, Kênh Tuyển Sinh sẽ chia sẻ đến bạn những kiến thức và lý thuyết cơ bản về tích phân, kèm theo đó là một số bài tập được tổng hợp từ đề thi đại học qua các năm và hướng dẫn giải chi tiết.
Trước khi đi vào chi tiết các phương pháp giải tích phân và một số bài tập luyện tập, chúng ta hãy cùng điểm qua Tính chất của tích phân và Công thức tính tích phân cơ bản.
1.1. Tính chất của tích phân xác định
1.2. Công thức tính tích phân cơ bản
Để làm tốt bài tập tính tích phân, điều cần thiết đó là chúng ta phải nhớ và hiểu được cách vận dụng các công thức tính tích phân sau:
2. Phương pháp tính tích phân và bài tập luyện tập
Để giải các bài toán tính tích phân, chúng ta có thể áp dụng rất nhiều phương pháp khác nhau. Sau đây là một số phương pháp tính tích phân đơn giản thường gặp:
2.1. Biến đổi về Tổng - Hiệu các tích phân cơ bản
Với phương pháp này, chúng ta sẽ sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) của các hạng tử.
PHƯƠNG PHÁP GIẢISử dụng 3 tính chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng - hiệu các tích phân cơ bản:
Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K và a, b, c là những số thuộc K. Khi đó, tính chất và công thức tính phân như sau:
2.2. Tính tích phân bằng phương pháp Đổi biến số
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
2.3. Tính tích phân bằng phương pháp Tích phân từng phần
PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
2.4. Tính tích phân bằng phương pháp Phối hợp
Bài viết trên đây đã cung cấp cho bạn những kiến thức về tính chất của tích phân, công thức tính tích phân cơ bản và các phương pháp giải một số bài tập tích phân phổ biến. Hãy thường xuyên luyện tập để giải được những bài toán tích phân cũng như học tốt bộ môn Toán hơn nhé!
> TOP 4 lưu ý quan trọng khi đơn phương chấm dứt hợp đồng lao động
> Nghị định Chính Phủ về việc tăng lương hưu, trợ cấp bảo hiểm xã hội, trợ cấp hàng tháng cho nhiều đối tượng
