Hướng dẫn cách khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba chi tiết
Cách khảo sát và vẽ các dạng đồ thị hàm số trong đó có cách khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba là phần kiến thức trọng tâm của chương trình Toán 10,11 và 12 có nhiều trong các đề thi quan trọng. Để giúp các em nắm rõ hơn phần kiến thức quan trọng này, THPT Lê Hồng Phong đã chia sẻ bài viết sau đây. Bạn theo dõi nhé !
I. HÀM SỐ BẬC BA LÀ GÌ ?
Trong đại số, một hàm số bậc ba là một hàm số có dạng:
Bạn đang xem: Hướng dẫn cách khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba chi tiết
f(x)=ax3+bx2+cx+d (trong đó a#0)
Phương trình f(x) = 0 là một phương trình bậc ba có dạng: ax3+bx2+cx+d =0Các giá trị x thỏa mãn phương trình này được gọi là các nghiệm số của đa thức f(x).
Bạn đang xem: Vẽ đồ thị hàm số bậc 3
II. CÁCH KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
1. Cách khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc ba
Để khảo sát đồ thị hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d với a#0 ta thực hiện các bước sau:
+ Bước 1. Tập xác định: D=R.+ Bước 2. Đạo hàm: y′=3ax2+2bx+c, Δ′=b2–3ac.Δ′>0: Hàm số có 2 cực trị.Δ′≤0: Hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên R.+ Bước 3. Đạo hàm cấp 2: y”=6ax+2b, y”=0⇔x=–b3a.x=–b3a là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.+ Bước 4. Giới hạn:Nếu a>0 thì: limx→–∞y=–∞, limx→+∞y=+∞.Nếu a+ Bước 5. Bảng biến thiên và đồ thị:Trường hợp a>0:+ Δ′=b2–3ac>0: Hàm số có 2 cực trị.
y=x3-3x+1y=-x3+3×2+1y=-x3+x2+3y=x3-3×2+3x+1
Hướng dẫn:
Dựa vào dạng đồ thị, ta có a>0. Hiển nhiên B, C bị loại.
Hàm số này không có cực trị, nên loại đáp án A.
Vậy đáp án D đúng.
Vậy là các bạn vừa được theo dõi cách khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba chi tiết. Hi vọng, bài viết đã mang đến cho bạn thêm nhiều nguồn tư liệu hữu ích. Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai cũng đã được THPT Lê Hồng Phong chia sẻ rất chi tiết. Các bạn tìm hiểu thêm nhé !
Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3 gồm sơ đồ chung khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số và sơ đồ khảo sát riêng hàm số bậc 3 bao gồm cả phần lý thuyết - các bước làm một cách dễ hiểu nhất và phần bài tập tham khảo đi kèm với bài tập trong đề thi đại học các năm trước.
A. Lý thuyết
I- SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
1. Tập xác định.
2. Sự biến thiên
2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y’
+ Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
2.2 Tìm cực trị
2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực (\(x\rightarrow \pm \infty\) ), các giới hạn có kết quả là vô cực và tìm tiệm cận nếu có.
2.4 Lập bảng biến thiên.
Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Xem thêm: Top 12 Nhà Hàng, Quán Ăn Ngon Ở Việt Trì Ngon, Top 9 Nhà Hàng, Quán Ăn Việt Trì Ngon
3. Đồ thị
- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= ? => (0;?)
- Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 f(x) = 0 x = ? => (?;0 )
- Các điểm CĐ; CT nếu có.
(Chú ý: nếu nghiệm bấm máy tính được thì bấm, nghiệm lẻ giải tay được thì phải giải ra- chẳng hạn phương trình bậc 2, còn nghiệm lẽ mà không giải được thì ghi ra giấy nháp cho biết giá trị để khi vẽ cho chính xác- không ghi trong bài- chẳng hạn hàm bậc 3)
- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)
- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Điều này sẽ cụ thể hơn khi đi vẽ từng đồ thị hàm số.
II- SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) .
1. Tập xác định. D=R
2. Sự biến thiên
2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm:
+ ( Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải nếu nghiệm lẻ- không được ghi nghiệm gần đúng)
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
2.2 Tìm cực trị
2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực (\(x\rightarrow \pm \infty\))
(Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có TCĐ và TCN.)
2.4 Lập bảng biến
Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
3. Đồ thị
- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)
- Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 ax3 + bx2 + cx + d = 0 x = ?
- Các điểm CĐ; CT nếu có.
(Chú ý: nếu nghiệm bấm máy tính được 3 nghiệm thì ta bấm máy tính, còn nếu được 1 nghiệm nguyên thì phải đưa về tích của một hàm bậc nhất và một hàm bậc hai để giải nghiệm. Trường hợp cả ba nghiệm đều lẻ thì chỉ ghi ra ở giấy nháp để phục vụ cho việc vẽ đồ thị)
- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)
- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Hàm bậc ba nhận điểm làm tâm đối xứng.
+ Trong đó: x0 là nghiệm của phương trình y’’ = 0 (đạo hàm cấp hai bằng 0)
+ Điểm I được gọi là ‘điểm uốn’ của đồ thị hàm số.
Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x3 + 3x2 – 4
1. Tập xác định D = R
2. Sự biến thiên
+)Giới hạn hàm số tại vô cực
+)Chiều biến thiên:
y’ = 3x2 + 6x
Cho y’ = 0 3x2 + 6x = 0 \(\left< \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\)
Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)
Hàm số nghịch biến trong khoảng (-2; 0)
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = -2; \(y_{CD}=y(-2)=0\)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; \(y_{CT}=y(0) = -4\)
+)Lập bảng biến thiên :
x | -∞ | -2 | 0 | +∞ |
y’ | + | 0 – | 0 + | |
y | -∞ | 0 | -4 | +∞ |
3. Đồ thị
Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 x3 + 3x2 – 4 = 0 \( (x-1)(x+2)^{2}=0\)
\(\left< \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\)
Vậy (-2;0) và (1;0) là các giao điểm của đồ thị với trục Ox
Giao điểm của đồ thị với trục Oy: x = 0 y = -4. Vậy (0;-4) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.
Bảng giá trị :
| x | -2 | -1 | 0 | 1 |
| y | 0 | -2 | -4 | 0 |
Tìm điểm uốn
y’’= 6x + 6
Cho y’’ = 0 6x + 6 = 0 x = -1 => y = -2
Đồ thị hàm số có điểm uốn : U(-1, -2)
Vẽ đồ thị (C) :
Kết luận: Đồ thị hàm số bậc 3 đã cho nhận điểm U(-1;-2) làm tâm đối xứng.
C. Một số bài tập trong đề thi đại học
D. Bài tập vận dụng
Bài tập về nhà
Tải về
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay
